माना $\sum\limits_{k = 1}^{10} {f\,(a\, + \,k)} \, = \,16\,({2^{10}}\, - \,1)$ है, जहाँ सभी प्राकृत संख्याओं $x , y$
के लिए, फलन $f , f ( x + y )= f ( x ) f ( y )$ को संतुष्ट करता है तथा $f ( a )=2$ है। तो प्राकृत संख्या $^{\prime} a ^{\prime}$ बराबर है :

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=x^{3}$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R \rightarrow R$ एकैक (Injective) है।

फलन $f(x) = \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(3 - x)}}{{\ln (|x|\; - 2)}}$ का डोमेन (प्रान्त) है

यदि फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sec ^{-1}\left(\frac{2 \mathrm{x}}{5 \mathrm{x}+3}\right)$ का प्रांत $[\alpha, \beta) \cup(\gamma, \delta]$ है, तो $|3 \alpha+10(\beta+\gamma)+21 \delta|$ बराबर है_________|

माना $\mathrm{R}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e}\}$ तथा $\mathrm{S}=\{1,2,3,4\}$ हैं। आच्छादक फलनों $f: R \rightarrow S$ जिनके लिये $f(a) \neq 1$ है, की कुल संख्या है

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=2 x$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R \rightarrow R$, एकैकी तथा आच्छादक है।